Comment avons-nous pu, pendant 15 ans, rester inattentifs à cette réflexion sur l'épistémologie des mathématiques et sur la légitimité des connaissances mathématiques enseignées et utilisées, pourtant si remarquablement argumentée et documentée ? Pour la nombre d'entre nous, Imre Lakatos était un épistémologue et historien des sciences attachant, successeur de son maître K. Popper à la London School of Economics et interlocuteur privilégié de P. Feyerabend, père du concept épistémologique de "Programme de Recherche" ("Histoire et méthodologie des sciences", 1978, traduction française de L.Giard, PUF; 1994), disparu à 52 ans en 1974. On le citait plus qu'on ne le lisait, en le classant entre Popper et Feyerabend, avec sympathie. Mais on ignorait souvent qu'il avait d'abord soutenu une thèse sur "la logique de la découverte mathématique" en 1961, thèse sur laquelle il avait souvent retravaillé, laissant à sa mort des compléments parfois inachevés qui furent édités peu après par J. Worrall et E. Zahar, complétant en 1976, l'édition de "Proofs and Refutation" de 1963.

On disposait pourtant depuis 1984 de la remarquable traduction française établie et commentée par N. Balacheff et J.M. Laborde, éditée chez Hermann. Mais qui, parmi nous y avait alors prêté attention ? H.A. Simon ("Models of discovery", 1977) bien sûr, et Edgar Morin, comme toujours, qui la mentionnait dans le tome 4 de "la Méthode" (1991), mais cela n'avait pas suffi à susciter le sursaut de veille épistémique auquel nous voulons nous attacher. Les notables n'en parlaient guère, embarrassés sans doute par l'incongruité académique d'un propos qui visait "à concevoir les conditions d'une véritable épistémologie artificielle, à savoir un rapport épistémologique provoqué et contrôlé par l'enseignant pour l'acquisition d'un savoir mathématique authentifiable" (p. XVIII). Un propos qui se voulait "aussi un défi au dogmatisme mathématique moderne"(p.5).

Mais puisque enfin nous repérons l'exposé "de ces quelques doutes sur le caractère définitif de la preuve... sur la comparaison des deux approches de la définition, l'essentialiste et la nominaliste (p. 152)... sur les deux styles de l'enseignement des mathématiques, le déductiviste et l'heuristique (p.183)...", pourquoi nous en priverions plus longtemps ? D'autant plus que la maïeutique de Lakatos est exemplaire et rend son livre aisé à lire : les disputes qui animent la classe entre le maître et ses élèves Alpha, Beta, Gamma,... Rhô, Sigma et Zêta sont un chef d'œuvre de pédagogie, même si l'on ne s'intéresse pas principalement à la preuve de la conjecture d'Euler sur le classement des polyèdres. Cette longue histoire se lit comme une saga dans laquelle nous retrouvons, en notes, tant de mathématiciens familiers dans nos cultures contemporaines, que l'on fasse ou non "profession de mathématiques". Ah ! si, en France, les "prof. de Math. Spé." faisaient de cet essai leur bréviaire, au lieu de s'acharner à défendre leur prébende des "heures de colle", quel souffle d'intelligence vivifiante circulerait dans la culture de nos élites taupines !

L'introduction des traducteurs est si riche que j'ai scrupule à ajouter d'autres commentaires. Elle ne fait que huit pages, mais on ne peut raisonnablement les reproduire ici. Peut-être pourra-t-on donner envie au lecteur pensif de prendre en main l'ouvrage et de la lire dans son contexte, celui de la pensée de Lakatos (... dans laquelle on progressera aisément ensuite), en reprenant quelques-uns de ses propos ?

"La tentative de Lakatos pour une modélisation de la découverte mathématique apporte une vision revigorante, et renouvelle l'enthousiasme des chercheurs qui avancent en se trompant... La rigueur n'a pas toujours eu les même critères et... il existe une histoire de la rigueur. Mais alors pourquoi prétendre la rigueur achevée en notre fin du vingtième siècle..." p. XV.

"Si la mathématique est formalisée, elle n'est pas pour autant formelle. L'évaluation d'un théorème, et donc de sa preuve, ne peut se réduire à un calcul ; elle implique la connaissance et par là le sujet connaissant : le mathématicien. L'analyse d'une preuve passe par sa compréhension, elle engage donc des modèles de connaissance subjectifs, des conceptions individuelles... " p. XVI.

"Lakatos nous ramène à la question vieille comme la mathématique elle-même, de savoir, en dehors d'un système de signes, quels sont les 'objets' des théories mathématiques informelles ? Autrement dit, de quoi, les mathématiques sont-elles la connaissance ? ..." p. XVI.

"C'est bien dans cette direction que déjà se constitue notre épistémologie moderne, saisissant les 'objets mathématiques' dans leur construction historique..." p. XVII.

"(Dans une telle conception de l'enseignement)... Les mathématiques sont aussi prises en compte, non en tant que texte de savoir, mais en tant que savoir construit socialement et dont l'acquisition par l'individu doit être contrôlée comme sens et pas seulement comme langage... Ce sont les situations - problèmes pour lesquelles l'objet mathématique constitue un outil de solution fiable, efficace, économique qui seront pour les élèves la source du sens donné à cet objet (savoir ou savoir faire )... L'apport de l'épistémologie est ici essentiel : le sens du savoir mathématique n'est pas tout entier enfermé dans les textes ; il se trouve dans l'histoire des concepts, c'est-à-dire dans le cadre problématique de leur genèse, dans ce qui a fait obstacle ou ce qui a favorisé leur émergence." p. XVIII.

L'apport de l'épistémologie est ici essentiel... ici aussi ! N'est-ce pas cette prise de conscience qui suscite le projet de veille épistémique, tous azimuts, du Programme européen Modélisation de la Complexité ?

J.L. Le Moigne.