La "Gödelite" sévit encore avec tant d’intensité qu’il n’est pas inutile d’inviter les exégètes de Gödel à revenir aux sources : lire et méditer enfin l’article illustre que K. Gödel publia en 1931 pour porter un coup d’arrêt au programme "follement scientiste" et même "effrayant par sa conception du monde d’un mécanisme implacable" que Hilbert proposait aux mathématiciens en prenant sa retraite en 1928 ! Coup d’arrêt qui fut d’ailleurs longtemps, et est peut-être encore aujourd’hui, un coup d’épée dans l’eau, tant furent nombreux les mathématiciens qui ignorèrent avec superbe cette "démonstration de l’indémonstrabilité des axiomes de l’arithmétique !" : Hilbert n’avait-il pas déjà définitivement banni Brouwer qui affirmait la "constructibilité" (et donc l’artifice au nom du formalisme pur de la science positive) des propositions mathématiques ? Et les Bourbakistes, qui se constituaient alors en armée conquérante des terres "mathématiques nouvelles" ne se référaient-ils pas au Programme de Hilbert pour assurer – avec quel succès de 1950 à 1980 – leur autorité sur la corporation ! Sans doute est-ce cette indifférence trop ostensible de la plupart des mathématiciens de cette longue période à toute réflexion sérieuse sur "la question des fondements", et donc sur la légitimité épistémologique de leur discipline proclamée "reine des sciences", qui finit par attirer l’attention des autres sciences, et en particulier de l’informatique naissante (sans le non moins célèbre article d’A. Turing de 1936, peut-être ignorerions-nous encore le "théorème de Gödel" ? Et J. Von Neumann n’aurait peut-être pas songé à dire de K. Gödel qu’il était "le plus grand logicien depuis Aristote" ?). Le fait est que les sciences de l’homme et de la société puis les sciences de la vie et les sciences fondamentales de l’ingénierie prirent progressivement conscience dans les années 70-80 de l’existence de ce théorème de Gödel et de son intérêt tactique pour échapper aux jugements académiques humiliants que leur imposent les courtisans assermentés de la Reine des sciences, regroupés dans la riche forteresse des sciences dures (qu’ils proclament sciences exactes !). Si l’arithmétique (puis par extension, les mathématiques et la logique formelle) doit convenir qu’elle ne peut pas démontrer les axiomes sur lesquels elle fonde ses démonstrations (elle ne peut pas démontrer par elle-même sa propre "consistance"), pourquoi pourrait-elle arguer que les propositions que développent les disciplines douces sont moins vraies, ou moins scientifiques, ou moins légitimes que les siennes ? La soit-disant reine des sciences est aussi nue que les autres disciplines et elle ne dispose pas du privilège régalien ou académique de l’infaillibilité scientifique.

L’inculture épistémologique (ou, ce qui revient au même, la prégnance des épistémologies positivistes) est si manifeste depuis un siècle que ce théorème de Gödel est ainsi tenu pour bien rassurant ; hormis les tenants intégristes des mathématiques formelles et du bourbakisme (cela fait encore beaucoup de monde, surtout dans les académies !), chaque scientifique se donne volontiers bonne conscience en mentionnant à l’appui de sa thèse le théorème de Gödel : J.Y. Girard appelle cela "la gödelite". Je suis pourtant de ceux qui pensent que même sans la démonstration mathématique de Gödel de 1931, la proposition épistémologique que l’on en infère serait aussi pertinente, plausible, convaincante… L’abolition de ce privilège de la transcendance d’une discipline (qu’elle soit métaphysique, théologique ou mathématique) n’implique pas son bannissement mais plutôt sa "promotion à l’état laïc", ce qui va… de "sens commun"… dans une société républicaine !

Mais puisque la démonstration de K. Gödel existe, assurons-nous au moins, par probité intellectuelle, que nous la comprenons et que nous l’interprétons avec "l’obstinée rigueur" qui sied aux scientifiques : l’exercice pendant longtemps ne fut guère aisé : le texte de K. Gödel, rédigé initialement en allemand, est de lecture difficile pour qui n’est pas familier des notations des "Principia Mathematica". Il redevint accessible en 1958 en anglais avec une longue introduction de deux philosophes épistémologues, E. Nagel et J.R. Newman : c’est cette longue et claire exposition qui est enfin traduite en français en 1989 avec le texte de l’article mythique de K. Gödel de 1931. Un billet d’humeur du logicien français J.Y. Girard propose quelques interprétations sur un mode polémique en guise de conclusion : "La gödelite est une maladie non reconnue par la sécurité sociale, mais dont les ravages sont certains"… Qui ou quoi ici est ravagé ? Le lecteur est tenté de retourner contre le logicien l’argument qu’il privilégie. "Comment vulgariser sans être vulgaire, that is the question ?" (p. 167)… Question pour qui ? ; U. Eco avait déjà répondu, en ne confondant pas intelligibilité et vulgarité : "Séverin qui n’était certes pas un bon logicien, réfléchissait cependant selon sa propre expérience" ("Le nom de la rose"). Il est probable que J.Y. Girard, lui "bon logicien", voulait prendre ses distances avec ses aînés, E. Nagel et J.R. Newman, dont "le point de vue est discutable… (car) la philosophie plus ou moins affichée de (leur) texte est le néo-positivisme" (p. 147) : péché véniel, me semble-t-il, puisque les deux auteurs anglo-saxons (qui écrivaient en 1958, 30 ans plus tôt), ne s’en cachent pas : que pouvaient-ils soutenir d’autre en 1958 ?… Péché plus véniel me semble-t-il que celui de J.Y. Girard, qui ne nous dit pas d’où il parle… et qui dissimule mal une sorte de positivisme primaire ou naturaliste qui ne fait profession d’"antiréductionnisme" que par son titre !

Mais l’important n’est pas là : lire le texte de 1931 de Gödel, en effet difficile, est un exercice salubre pour l’esprit : on prend conscience des limites réfléchies de son propos : "Il n’exclut pas la possibilité d’une démonstration métamathématique de la consistance de l’arithmétique. Ce qu’il exclut, c’est la possibilité de réfuter cette démonstration dans les déductions formelles de l’arithmétique" (p. 91) : Autrement dit, la voie des raisonnements auto-référentiels (voire des logiques auto-référentielles) reste ouverte ; à nous désormais de nous y engager, sans nous embarrasser de la caution de Gödel pas plus que des interdits logiques de Russel ou de Hilbert…

J.L. Le Moigne